[2014년 정발고]

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[1학년 2학기 기말]

[eqn: 3^{ 3 over2 } div root3]을 간단히 한 것은?

①

① [eqn: 3]	② [eqn: root3]	③ [eqn: root {3} of {3}]

④ [eqn: 1 over root3]	⑤ [eqn: 1 over3]

거듭제곱근을 계산한 것으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. [eqn: root {3} of {-2 ^{3}} =2]

ㄴ. [eqn: root {6} of {8} = sqrt {2}]

ㄷ. [eqn: root(-2)^4 = 4]

ㄹ. [eqn: root {3} of {2} TIMES root {4} of {2} = root {12} of {2}]

① ㄱ, ㄴ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄷ, ㄹ

④ ㄱ, ㄴ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

[eqn: sum _k=1 ^10 (k+1)^2 - sum_k=1^10 (k-1)^2]의 값은?

②

① [eqn: 200]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 240]

④ [eqn: 260]	⑤ [eqn: 280]

[eqn: 3^{log_3 2 } + 2 over {log_5 2 } - log_root2 5]의 값은?

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 명제 [eqn: p(n)]이 보기 조건을 만족할 때, [eqn: p(1)], [eqn: p(2)], [eqn: p(3)], [eqn: cdots], [eqn: p(98)], [eqn: p(99)], [eqn: p(100)] 중에서 반드시 참인 것의 개수는?

①

(가) [eqn: p(2)]이 참이다.

(나) [eqn: p(n)]이 참이면, [eqn: p(n+3)]이 참이다.

① [eqn: 33]개	② [eqn: 35]개	③ [eqn: 37]개

④ [eqn: 39]개	⑤ [eqn: 41]개

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: {rm S}_n]이 [eqn: {rm S}_n = n^2 + 2n]일 때, [eqn: 1 over {a_1 a_2 } + 1 over{a_2 a_3 } + 1 over {a_3 a_4 } + cdots + 1 over {a_20 a_21 }]의 값은?

⑤

① [eqn: 5 over42]	② [eqn: 7 over86]	③ [eqn: 9 over86]

④ [eqn: 17 over129]	⑤ [eqn: 20 over129]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -2nx+1 = 0]의 두 실근을 [eqn: alpha _{n}], [eqn: beta _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _n=1 ^10 ( alpha_n ^2 + beta _n ^2 )]의 값은?

①

① [eqn: 1520]	② [eqn: 1540]	③ [eqn: 1560]

④ [eqn: 1580]	⑤ [eqn: 1600]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 6^n-1]의 약수의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_k=1 ^10 a_k]의 값은?

⑤

① [eqn: 345]	② [eqn: 355]	③ [eqn: 365]

④ [eqn: 375]	⑤ [eqn: 385]

첫째항이 [eqn: 1], 공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여
[eqn: 1 over{ roota_1 + roota_2 } + 1 over { roota_2 + roota_3 } + 1 over { roota_3 + roota_4 } + cdots][eqn: 1 over {root a_24 + roota _25 }]
의 값은?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: a _{1} =-1], [eqn: a _{2} =6], [eqn: a _{n+2} -a _{n} =2(n=1,```2,```3,``` CDOTS )]으로 정의된 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum _k=1 ^40 a_k]의 값은?

④

① [eqn: 800]	② [eqn: 820]	③ [eqn: 840]

④ [eqn: 860]	⑤ [eqn: 880]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^3n-2 + 3^n]이 [eqn: 5]의 배수임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다. 해당 문자에 알맞은 것은?

④

(Ⅰ) [eqn: n =1]일 때

[eqn: 2^3-2 + 3^1 = 5]이므로 [eqn: 2^3n-2 + 3^n]은 [eqn: 5]의 배수다.

(Ⅱ) [eqn: n= k]일 때,

[eqn: 2^3n-2 + 3^n]이 [eqn: 5]의 배수라고 가정하면

[eqn: 2^3k-2 + 3^k =5m ``(m은~정수)] … ㉠

이다. [eqn: n = rm A]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: 2^{rm3A-2 } + 3^{rm A}]

[eqn: =5 cdot 2^3k-2 + rm B]

[eqn: =5 cdot 2^3k-2 +3 cdot rm C]

= [eqn: 5(2^3k-2 + rm D)]

그러므로 [eqn: n = rm A]일 때도 [eqn: 2^3n-2 + 3^n]은 [eqn: 5]의

배수이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^3n-2 +3^n]은 [eqn: 5]의 배수이다.

[eqn: RM A]	[eqn: rm B]	[eqn: rm C]	[eqn: rm D]

① [eqn: k-1]	[eqn: 2^3k-2 + 3^k]	[eqn: m]	[eqn: 3m]

② [eqn: k+1]	[eqn: 2^3k-2 + 3^k]	[eqn: 5m]	[eqn: 5m]

③ [eqn: k-1]	[eqn: 3 cdot2^3k-2 + 3 cdot 3^k]	[eqn: m]	[eqn: 3m]

④ [eqn: k+1]	[eqn: 3 cdot2^3k-2 + 3 cdot 3^k]	[eqn: 5m]	[eqn: 3m]

⑤ [eqn: k+1]	[eqn: 3 cdot2^3k-2 + 3cdot 3^k]	[eqn: 5m]	[eqn: 5m]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum _k=1 ^n a_k = log_3 {(n+1)(n+2)} over2]
를 만족시킨다. [eqn: sum_k=1 ^26 a_2k = p]라 할 때, [eqn: p]의 값을 구하면?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: sum_k=1 ^100 LEFT [ log k RIGHT ]]의 값은? (단, [eqn: LEFT [ x RIGHT ]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

④

① [eqn: 89]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 91]

④ [eqn: 92]	⑤ [eqn: 93]

상용로그표를 이용하여 [eqn: log(51times0.0532)]의 값을 구한 것은?

②

수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]
[eqn: 5.0]	[eqn: 0.6990]	[eqn: 0.6998]	[eqn: 0.7007]	[eqn: 0.7016]
[eqn: 5.1]	[eqn: 0.7076]	[eqn: 0.7084]	[eqn: 0. 7093]	[eqn: 0.7101]
[eqn: 5.2]	[eqn: 0.7160]	[eqn: 0.7168]	[eqn: 0.7177]	[eqn: 0.7185]
[eqn: 5.3]	[eqn: 0.7243]	[eqn: 0.7251]	[eqn: 0.7259]	[eqn: 0.7267]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]	[eqn: vdots]

① [eqn: 0.0183]	② [eqn: 0.4335]	③ [eqn: 0.1460]

④ [eqn: 1.4335]	⑤ [eqn: 6.8019]

다음 그림과 같이 직육면체의 길이가 각각 [eqn: rm bar{AD} = root {6} of {64}],
[eqn: rm bar{AB} = root {6} of {8}], [eqn: rm bar{BF} = root {6} of {27}]일 때, 이 직육면체의 대각선의 길이 [eqn: rm bar AG]는?

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

물이 필터를 [eqn: 1]겹 통과할 때마다 물에 포함된 불순물의 [eqn: 40%]가 걸러지는 정수기가 있다. 처음 물에 포함된 불순물의 양을 [eqn: rm100g]이라고 했을 때, 총 [eqn: 10]겹의 필터를 통과한 불순물의 양을 구한 것은? (단, [eqn: log6=0.7782], [eqn: log6.05=0.782]으로 계산한다.)

③

① [eqn: 0.00605 rm g]	② [eqn: rm 0.0605g]	③ [eqn: rm 0.605g]

④ [eqn: rm 6.05g]	⑤ [eqn: rm 60.5g]

서술형

길이가 [eqn: 8]인 선분 [eqn: rm P_1 P_2]에 대하여 선분 [eqn: rm P_1 P_2]를 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점을 [eqn: rm P_3]이라 하고, 같은 방법으로 선분 [eqn: {rm P}_n {rm P}_n+1]을 [eqn: 1:3] 내분하는 점을 [eqn: {rmP }_n+2]라 하자. 선분 [eqn: {rm P}_n {rm P}_n+1]의 길이를 [eqn: a_n]이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) [eqn: a_n+1 = { 3} over { 4}a_n]

(2) [eqn: a _{n} =8 TIMES left( {3} over {4} right) ^{n-1}]

(1) [eqn: a_n]과 [eqn: a_n+1] 사이의 관계식을 구하는 과정과 답을

서술하시오.

(2) 수열 [eqn: left{a_n right}]이 어떤 수열인지 서술하고, 일반항을 구하시오.

양수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^{ 1 over2 } + x^{ - 1 over2 } =4]일 때, 다음 식의 값을 구하는 과정과 답을 서술하시오.

(1) [eqn: 194]

(2) [eqn: 52]

(1) [eqn: x^2 +x^-2]

(2) [eqn: x rootx + 1 over {x rootx }]

[eqn: rm A= 3^10]일 때, [eqn: 10^m le rm A < it 10^m+1]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]과
[eqn: log n le log rm A over {it 10^m } < log ( n+1)]
을 만족시키는 자연수 [eqn: n]이 이차방정식 [eqn: 2x^2 -18x+k = 0]의 두 근이다. 다음 물음에 답하시오. (단, [eqn: log2 = 0.301 ,~ log3 =0.4771]으로 계산한다.)

(1) [eqn: 4]

(2) [eqn: 5]

(3) [eqn: 40]

(1) 자연수 [eqn: m]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(2) 자연수 [eqn: n]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

(3) 상수 [eqn: k]의 값을 구하는 과정을 서술하시오.

[2014년 정발고]

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[1학년 2학기 기말]

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